Bei der Einführung von partiellen Ableitungen haben wir bereits gesehen, dass wir für

reellwertige Funktionen eine wichtige Rechenregel der Differenziation übertragen können auf den

mehrdimensionalen Fall. Das war die Produktregel und dies hat funktioniert für partiell

differenzierbare Funktionen. Jedoch haben wir noch gar keine Aussage getroffen, ob es eine

Verallgemeinerung der sogenannten Kettenregel gibt aus dem Eindimensionalen und das hat auch

einen guten Grund, nämlich für die Anwendung der Kettenregel benötigen wir den stärkeren Begriff

der totalen Differenzierbarkeit. Da haben wir uns das Ganze aufgehoben und werden jetzt in diesem

Video begründen, dass diese Regel sich auf Allgemein anlässt, auf den allgemeinen Fall für

mehrdimensionalen Funktionen mit vectorwertigen Wertebereichen. Das heißt, wir sind jetzt in der

folgenden Situation, wir werden jetzt gleich die Verkettung zweier Funktionen betrachten. Das Ganze

soll wie folgt aussehen, wir werden uns anschauen, wie sieht die Konkatenation der Funktion f von g,

der f angewendet auf g in einem Punkt x aus und das Ganze können wir uns als folgendes Bild

vorstellen, wir werden offene Teilmengen betrachten, die eine Teilmenge wird u heißen,

dies eine echte Teilmenge, vielleicht soll ich das mehrfarbig machen, das wird eine Teilmenge sein,

das r hoch n und wir werden abbilden von dieser offenen Teilmenge in eine andere Teilmenge,

die wir v nennen, die wird eine Teilmenge eines anderen Vektorraums sein, nämlich r hoch k,

Sie sehen wir sind immer noch vectorwertig und von dort bilden wir ab in einen Funktionraum,

in einen Raum der M Dimension hat, das ist der r hoch m, da brauchen wir keine offenen Mengen

mehr, der Wertebereich ist einfach dieser Vektorraum und wir betrachten die Funktion g,

die auf dem r hoch n nach r hoch k bildet und eine Funktion f und es ist klar, wenn wir f

angewendet auf g betrachten in einem Punkt x aus dem r hoch n, dann ist das ganze hier wohl

definiert. Gut, also das wird das Setting sein, wir werden die Kettenregel formulieren und auch

sehen, wie sich die Kettenregel verallgemeinern lässt, wir werden nicht den gesamten Beweis machen,

wir werden uns nur den Teil anschauen, aus dem heraus kommt, warum das Differential genau diese

Form hat, zum Beweis der totalen Differentialigkeit werde ich nur ein paar Worte sagen, der ist

relativ technisch, da sparen wir uns lieber die Arbeit und diskutieren ein gemeinsames Beispiel

um zu sehen, wie funktioniert das Ganze mit echten Funktionen. Genau, das heißt wir beginnen mit dem

Satz zur Kettenregel. Wir müssen jetzt erstmal die Voraussetzungen alle erfassen und dazu kommen

jetzt genau diese Teilmengen, die ich dort oben hingeschrieben habe, das heißt wir haben eine

Teilmenge u des r hoch n, eine offene Teilmenge v des r hoch k, das sind zwei offene Teilmengen.

Außerdem betrachten wir zwei total differenzierbare Funktionen, die müssen nur in bestimmten Punkten

total differenzierbar sein, außerdem sei die erste Funktion das g, die bildet ab von u nach v,

wie wir da oben hingeschrieben haben, das ist eine im Punkt x total differenzierbare Funktion,

der Punkt x aus u, die muss dort total differenzierbar sein, außerdem betrachten

wir noch eine Funktion f, die eben von v abbildet in den r hoch m und zwar muss diese total

differenzierbar sein im Bild von x unter g, also im Punkt g von x, total diffbare Funktion. Dann

können wir die Konkatenation dieser beiden Funktionen betrachten, das ist jetzt die Aussage

des Satzes, dann ist die folgende Funktion nämlich f verknüpft mit g, bildet natürlich

jetzt ab von u eine Teilmenge des r hoch n nach r hoch m, das ist eine im Punkt x total

differenzierbare Funktion und das Differential hat eine Form, die wir noch kennen aus dem

Eindimensionalen, also dann ist die Funktion im Punkt x aus u total differenzierbar,

die erste wichtige Aussage und für das Differential, also beziehungsweise die

Jacobi-Matrix, die hat eine gewisse Form und zwar stellt sich heraus, dass die Jacobi-Matrix

von dieser Funktion f verknüpft mit g in der Stelle x, die ist nichts anderes wie die

Jacobi-Matrix von f, multipliziert mit der Jacobi-Matrix von g, aber an gewissen Stellen

g werten wir aus in x und f werten wir aus im Punkt g von x. Diese Gestalt, die kommt

in sehr bekannt aus dem Eindimensionalen, das ist im Prinzip nichts anderes wie äußere

Ableitung mal innere Ableitung, so kann man sich das ganz einfach merken und hier ist

es auch sehr wichtig, dass sie die Reihenfolge beachten, also die äußere Ableitung muss

auf der linken Seite stehen, weil es sich hier um Matrizen handelt, ist eine andere